Сфера, вписанная в многогранник
Правда ли, что для любого многогранника выполняется следующее:
Если в многогранник можно вписать сферу, то верна формула r=(3V)/S, где V - объем многогранника, S - площадь его полной поверхности, r - радиус сферы
конечно, выполняется.
и это можно показать аналитически,
если вспомните формулу объема пирамиды v=sH/3
H - высота, s - площадь основания.
Для многогранника, в который можно вписать сферу радиуса R,
нужно рассмотреть пирамиды, основаниями которых являются грани многоугольника.
будет все H=R
Суммируйте объем всех всех пирамид и получите R=(3V)/S
V=сумме всех v
S=сумме всех s
Конечно, верно.
Объем пирамиды в n-мерном пространстве
V = Sh/n, где S - (n - 1)-мерный объем основания, h - высота.
Проинтегрируйте....
Для вписанного шара в n-мерный многогранник имеем:
r=n*V/S, где n - размерность пространства, V - n-мерный объем, S - (n-1)-мерный объем границы.
В случае описанного многоугольника на плоскости имеем r = 2S/P, где P - периметр, S - площадь.
Проверил для ПРАВИЛЬНЫХ тетраэдра, гексаэдра (квадрата) и додекаэдра - выполняется.