сколько должна заплатить страховая?

Не лениться съездить на пару СТО узнать цену от туда среднее плясать, потому как в каждом городе цена разная

нет такой операции как пайка бампера. вас страховая разводит. Замена бампера и покраска + снять поставить.

сьезди к нормальному оценщику

Если быть точным в формулировках, то от страховой это не оценщик, а независимый технический эксперт (НТЭ), сумма 20 где фигурировала не понял, в экспертизе СК? Допустим, что по результатам независимой экспертизы (от страховой) далее НЭ 20 и это реальная сумма. Тогда вопрос, на основании чего предлагают 4 на ремонт, какое-то соглашение подпихивают? Скорее всего, они должны что-то подпихивать, соглашение об урегулировании или цессию. На словах (в сообщениях) вам могут рассказать и то, что вмятины надо навозом залеплять, а на руки 100 рублей положено и под эту музыку всякую дрянь пропихивать. Знать бы основания. А то потом доказывай, что вам это все не приснилось.
Для начала не надо ничего подписывать, для начала требуйте направления на ремонт (20 рабочих дней с подачи документов) в установленном ст. 12 ФЗ 40 порядке, а за сколько (по деньгам) они будут ремонтировать, вас не волнует. Если интересно, то сумму ремонта вы увидеть на направлении должны, а не по схеме "пришло сообщение голубиной почтой" ПП ВС РФ 58 в п. 65, если память не изменяет о направлении написано.
Дальше, если машину по направлению поставят – супер ( при условии, что это не ремонт по договору цессии), при приемке авто в акт все косяки и если ремонт некачественный - суд к СК, неустойки, штрафы, компенсация НЭ и судебных издержек, деньги на устранение последствий "ремонта".
Делать свою оценку сейчас можете, но на СК она никак не повлияет (скорее всего), это только для суда уже. А, да, по тому же ФЗ 40 у СК на сайте есть перечень СТО с видами ремонта и загрузкой, на случай, если скажут что СТО нет. И все общение не голубиной почтой а языком заявлений и претензий с талончиком и регистрацией.

Если только бампер, без других элементов, то неоригинал в цвет можно найти за 6...10 тысяч, + работа по снятию-установке.
Бампер не является ремонтируемым элементом, так что только замена. Оригинал без покраски может стоить 10-20 тысяч и выше, на основании чего вам столько насчитали - непонятно.
В прошлом году мне около 16 штук заплатили за задний бампер машины 2011 года.