Можно ли с котом лететь в самолёте (в салоне)?

Нет нас не пустили

Можно, если переноска вписывается в габариты ручной клади. Но перевозку животного нужно заявлять заранее, при покупке билета.

У каждой авиакомпании свои правила для провоза животных, но согласовывать перевозку в салоне нужно заранее в любом случае.
Вот для примера правила Аэрофлота:
https://www.aeroflot.ru/ru-ru/information/preparation/special_transportation/animals

Можно. Зависит от авиакомпании и требований авиакомпании к провозу животных в салоне.
По поводу справок и документов также уточняйте в конкретной авиакомпании, а также в правилах ввоза животного в ту страну, куда вы собираетесь. Справки нужны не от кота, а от владельцев кота (как правило, это ветпаспорт с отметками о вакцинации, ветсправка по установленной форме), ну и также наличие переноски установленного размера и веса вместе с животным.

Животных до 5 кг можно брать с собой в специальной переноске. Еще справка нужна, выдается в государственной вет. клинике.

Справки от кота.... вот я хохочу....