Существует ли такое число ?

Question

Существует ли такое число ?

как всешда Ученик (183), закрыт 4 года назад

Известно, что число a > 0 представимо в виде разности обратных квадратов ( 1/m^2 - 1/n^2, где m,n - натуральные числа.). Существует ли, такое a, что число 2a - также представимо в виде разности обратных квадратов?
У меня получается, довольно сложное уравнение, решить думаю можно только подбором.. (2/m^2 - 2/n^2 = 1/x^2 - 1/y^2)

Answer 1

Как вы правильно заметили, задача сводится к решению уравнения
2( 1/a² - 1/b² ) = 1/c² - 1/d²
в натуральных числах.

После избавления от дробей получим:
2 (cd)² (b - a)(b + a) = (ab)² (d - c)(d + c).

Хотя это выглядит страшновато, но решается, представьте себе, устно. И свободная двойка слева подсказывает идею решения. Приглядитесь к простому множителю 2 - к тому, сколько всего раз он встречается слева и справа от "=".

Answer 2

Котик Мастер (1259) 4 года назад

конечно

как всешдаУченик (183) 4 года назад

Пример?

Юрий СемыкинИскусственный Интеллект (187417) 4 года назад

Например (10; 6) и (6;2).
Немного надо повозиться с 2(m^2 - n^2)=x^2 - y^2 на уровне школьной математики и тривиального здравого смысла. Можно и общую формулу последовательности найти, но мне лень.

Answer 3

Похоже такое число может быть совсем не одно.

Answer 4

Например (10; 6) и (6;2).
Немного надо повозиться с 2(m^2 - n^2)=x^2 - y^2 на уровне школьной математики и тривиального здравого смысла. Можно и общую формулу последовательности найти, но мне лень. Вернее серии нетривиальных решений, поскольку для любого набора сразу получается, что умножение всех на целый сомножитель снова даёт решение (km,kn,kx,ky) для числа a/k.