Виды дифференциальных уравнений

1) Уравнения с разделяющимися переменными - это уравнения, которые алгебраическими преобразованиями приводятся к виду: f(x)dx = g(y)dy. Интегрируются они непосредственно интегрированием левой части по x и правой по y.
2) Уравнения в полных дифференциалах имеют вид:
Q(x,y) dx + P(x,y) dy = 0
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если написанное справа выражение является полным дифференциалом какой-то функции двух переменных, то есть:
dU = 0
(du/dx)dx + (dU/dy)dy = 0
Qdx + Pdy = 0
Проверить это можно просто:
(d/dx)(d/dy)U = (d/dy)(d/dx)U
То есть не важен порядок интегрирования. Поэтому при dQ/dy = dP/dx уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Решается рассмотрением системы:
dU/dx = P
dU/dy = Q
И ответ получается в виде интеграла уравнения: U(x,y) = 0. Иногда получается выразить y(x).
Если равенство dQ/dy = dP/dx не выполняется, что можно попробовать домножить уравнение на что-то, чтобы оно выполнялось (поиск интегрирующего множителя).
5) Линейное уравнение - это такое уравнение, в которое искомая функция и все ее производные входят линейным образом. Есть множество методов решения, проще загуглить, писать долго...
3) Уравнение Бернулли имеет вид:
y' + a y + b y^n = 0
Решается заменой:
y = z^k, где подбирается таким образом, чтобы уравнение для z стало линейным.
4) Если вы в уравнении замените y на ty, а x на px ( p = t^n), и все эти введенные коэффициенты пересокращаются, и уравнение в итоге будет выглядеть точно так же, как и до замены, то перед вами однородное уравнение (однородное степени n, или как-то так, по-разному называют). Часто говорят, что однородное, это когда p=t, т. е. замена x=tx, y=ty не меняет уравнение. Такое уравнение упрощается заменой y/x = z.
6) Ну... тут уже нужно проявить некоторое творчество. суть в том, что вы можете придумать преобразование, после которого уравнение станет однородным... тут надо просто нарешаться, чтобы их видеть