Почему число деленное на его же корень дает тот же результат что и корень?

Прямое следствие определения.

Квадратный корень из данного числа - это такое (неотрицательное) число, квадрат которого равен этому числу:

√a = b ⇔ b^2 = a, b >=0

А квадрат числа - это просто это число, помноженное на себя:

b^2 = b*b

Подставляя a вместо b^2 и √a вместо b, получаем:

a = √a * √a

Разделяя обе части этого равенства на √a, видим, что слева будет a / √a, а справа √a один раз сокращается. Получаем:

a / √a = √a

Вот и всё!