Должен или нет включаться погружной насос, если все краны закрыты

От насоса зависит. Есть те, которые оборудованы реле давления, а есть те, что нет.

Не должен, где то утечка, может в обратном клапане.

Должен. Но закупоренный насос, не есть хорошо. Чревато.
Сделайте измеритель тока потребления насосом. Будете видеть, как от потребляет.

всасывающий клапан пропускает...