Порядок производной обозначается соответствующим числом штрихов. А порядок первообразной как-то обозначается?

Такого обозначения нет. Оно, по правде говоря, никому и не нужно. Если производную применяют сплошь и рядом (её нахождение это крайне быстрый процесс, sin^2(x) дифференцируется в уме), то нахождение первообразной будет требовать бОльших усилий (тот же sin^2(x) необходимо преобразовать до 1/2*(1-cos(2x) и потом уже находить первообразную).
К тому же искать первообразную дважды от одной функции потребуется ну совсем в редких случаях, особенно если отойти от математики и перейти к физике. Там неопределённый интеграл встречается редко, только если неизвестны условия той самой константы.
В дифференциальных уравнениях ещё есть неопределённый интеграл, но для двойной производной взять и просто дважды проинтегрировать функцию не получится, поверьте мне.