Почему x^2 под знаком корня дает модуль x?

Потому что любое число в квадрате будет не отрицательным

знак "по модулю" показывает на два числа: положительное и отрицательное

Потому что и х*х = x^2, и (-х) * (-х) = x^2

Если квадрат под корнем, как у тебя на рисунке, то = |Х|
А если корень в квадрате то = Х, при х>0.

Потому, что арифметический квадратный корень - число неотрицательное по определению!

Потому что если х - отрицательный, то в ответе получается не х, а минус х. А это и есть модуль х.
Если х - неотрицательный, то получается х, а если отрицательный, то -х. А это, собственно говоря, и есть определение модуля числа.