Покупка карты в Фитнес-клуб осуществляется только с 18 лет?

Да.
В правилах это сказано.
Посещение взрослых групповых программ разрешено членам Фитнес Клуба с 18 лет.
Посещать же бассейн фитнес клуба, детские секции, как правило, могут.

Согласно Гражданского кодекса РФ полная дееспособность ребенка наступает с 18 лет, частичная при осуществлении некоторых сделок с 16 лет. Родители за детей осуществляют некоторые сделки ввиду их несовершеннолетия, как законные представители.
Фитнес центр не берёт на себя ответственность и привлекае родителей, как представителей ребенка, чтобы вы могли отвечать за состояние его здоровья.