Возможно ли трудоустроить работника почты, директором в свою фирму ООО? По совместительству.

С какой стати Вы решили, что почтальон - это государственный служащий?
Государственным или муниципальным унитарным предприятием признается коммерческая организация, не наделенная правом собственности на имущество, закрепленное за ней собственником. В форме унитарных предприятий могут быть созданы только государственные и муниципальные предприятия. Имущество унитарного предприятия принадлежит на праве собственности РФ, субъекту РФ или муниципальному образованию (ст. 113 ГК РФ, ст. 2 Закона от 14 ноября 2002 г. № 161-ФЗ).
Таким образом, ФГУП, не является государственным учреждением. Предприятие является собственностью государства, однако не является частью структуры государственных органов. Соответственно работники ФГУП, являются обычными работниками и не являются государственными служащими.