Престол и трон это одно и тоже?

абстрактно, оба эти термина означают Власть
престо́л - трон монарха, является символом монаршей власти.

престол у Бога. вообщето смысл в том что Престол значит первый. А трон типа в каждой местности, на заднем плане

— У вас нет выбора, сир. Вы должны отказаться от трона.
— О, Ней, Ней, Ней... Трон... Ты знаешь, что такое трон, Ней? Трон — это всего лишь разукрашенный предмет мебели. Главное — это то, что стоит за троном: мой ум, моё честолюбие, мои желания, мои надежды, моё воображение, и главное — моя воля.

(диалог Наполеона и Нея из фильма "Ватерлоо")

В общем-то да.
Граф мог отречься от престола только если он почему-то наследовал этот престол, что для графа как-то странно. Может, он от титула отрекся?

Нет, не одно. Престол - это абстракция, а трон - вполне конкретная вещь в виде какого-нибудь кресла, тахты или стула. Трон это полисемантическое слово, обозначающее и "власть" и царскую седушку. В то время как престол только абстрактный символ "власти". Причем с большим уклоном в религиозную власть.