Если изменить имя в почте отправленные письма будут с новым именем отображается или со старым

Имя отправителя и подпись в почте Mail.ru
меняется в настройках:
https://e.mail.ru/settings/signature
Подробнее можно ознакомиться с информацией
"Имя отправителя и подпись" в разделе помощи:
https://help.mail.ru/mail-help/settings/signature

Чтобы изменённые данные быстрее поменялись,
как вариант, выйти с mail.ru (нажать выход с почты) ,
а потом снова ввести пароль (часто помогает решить такую проблему).

Попробуйте почистить кэш браузера:
https://help.mail.ru/mail-help/helpful/cache

Подпись не сразу может измениться в отправляемых письмах,
а немного позже.

Личные данные на Mail.ru изменяются в настройках почты:
https://help.mail.ru/mail-help/settings/userinfo
_____________________________

Если возникнет проблема, обращайтесь в службу поддержки
"Почты Mail.ru" напрямую на этот адрес:
mailsupport@corp.mail.ru
(в заголовке письма укажите тему проблемы)
Ответ от службы поддержки приходит обычно в течение 5 рабочих дней.

Либо можете подробно сообщить о проблеме
в службу поддержки почты Mail.ru с помощью
данной формы:
https://help.mail.ru/surveys/claims