докажите, что 0,333...=1/3

Двумя способами, либо 1 делить на 3 в столбик, либо 0.33 раскладывать в бесконечный ряд.

1/3 = 0.3(3)

0,333... * 10 = 3,333... = 0,333... +3
получили, что 0,333... является решением уравнения 10x = x+3
а уж решение уравнения 10x = x+3, думаю, выписать труда не составит.

Пусть 0,333… = Х, тогда 10Х=3,333…
10Х — Х = 9Х
3,333… — 0,333… = 3
Отсюда: 9Х=3, Х=3/9=1/3, что и требовалось доказать

И там и там есть небольшой остаток

x=0,(3)
10*x=3,(3)
10*x-x=3,(3)-0,(3)=3
9*x=3
x=3/9=1/3, что и требовалось доказать.