Как отличить дифф. уравнения? Линейные неоднородные и однородные?

Линейные уравнения - это уравнения, в которые искомая функция и все ее производные входят линейно. Линейное уравнение первого порядка:
y' + a y = b
Если при замене y на ky линейное уравнение не изменяется, то линейное уравнение - однородное (в примере выше такое осуществляется при b=0).
Для однородного линейного уравнения замены не нужно, оно сразу решается разделением переменных.
Неоднородное линейное уравнение первого порядка (b не равно 0) можно решить, используя замену y= u v.
Если уравнение нелинейное, и при одновременной замене y на ky и x на kx уравнение не меняется, то уравнение однородное степени 1. Такое уравнение представимо в виде:
dy/dx = F(y/x)
В таком случае естественная замена:
y/x = t
y = t x
y' = x t' + t
Тогда уравнение для t:
x t' + t = F(t)
dt / [F(t) - t] = dx / x
То есть переменные разделяются и уравнение интегрируется.