Возможно ли описать, на случай непрерывной функции, предел функции таким образом?

Интересно. Но тут имеется ввиду способ монотонного стремления, то есть конкретно такого, что какое бы последующее значение аргумента из этой окрестности ни было взято, значение функции будет больше в точке последующей, нежели предыдущей, то есть меньшей чем она. Так удобнее осознать сущность. Имеется ввиду, что как результат такая последовательность значений функции будет, которая соответствует тому что значения аргумента стремятся к x0 (предельной точке). То есть, одно дело, если стремление будет происходить не на одном промежутке монотонности (то есть значения функции, соответствующие значениям аргумента, стремящимся к предельной точке то меньше предыдущих, то больше), а другое дело что на одном. Понятное дело что итог один и тот же, но так более изящнее и понятнее для того, чтобы в...

Конечном итоге свести каноническое и данное определение к определению по Коши.

Вот даже каноническое, что называется, родимое определение "Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке".