для чего мы проводим касательную к графику функции? спасибо всем

По разным причинам. Обычно или для наглядности или потому что касательная, как любая прямая описывается простым уравнением, из которого сразу видны некоторые свойства, при этом касательная на маленьком промежутке почти совпадает с функцией, поэтому на этом промежутке свойства касательной почти совпадают со свойствами самой функции.

Вы, по-моему, задавали вопрос про бесконечно малые величины, так вот касательная совпадает с самой функцией на бесконечно малом отрезке.
Например, касательная к графику в какой-либо точке наглядно показывает насколько быстро растет или убывает в этой точке (и на очень маленьком отрезке вокруг этой точки) сама функция - чем более вертикально расположена касательная тем быстрее растет функция. А геометрически измерив угол наклона касательной (или алгебраически по уравнению этой прямой) можно найти значение производной первоначальной функции в этой точке.

Вообще, касательные к графикам функций применяются во многих разделах математики, но главный смысл их использования это то, что касательная является хорошим приблежением к функции на достаточно малом отрезке (и чем меньше отрезок, тем лучше это приблежение) .