Что такое градиент функции и как его найти?

Аналогично тому, как вводится производная через приращение:
Есть функция U = U(r). В точке r она имеет некоторое значение.
Сдвинемся от точки r на малый вектор dr (малый - стремящийся к 0).
Его компоненты: dr = {dx, dy, dz}.
Тогда изменится и значение функции: U(r + dr) = U(r) + dU (в первом приближении по dr)
При чем: dU = Ux dx + Uy dy + Uz dz - полный дифференциал.
Его можно рассматривать, как скалярное произведение вектора dr = {dx, dy, dz} и вектора gradU = {Ux, Uy, Uz}
U(r + dr) = U(r) + ( gradU, dr )
Градиент - вектор, компоненты которого - частные производные по соответствующим компонентам радиус-вектора.
Искать его компоненты - это просто отыскать частные производные.
Если записать скалярное произведение иначе: U(r+dr) = U(r) + |gradU| |dr| cos(f)
то видно, что если смещение было направлено вдоль градиента (f=0), то функция максимально быстро растет, если против (f=п), то функция убывает. Поэтому говорят, что градиент - это производная, в направлении наискорейшего возрастания функции (хотя такое логичнее сказать для его модуля).
[ U(r+dr) - U(r) ] / |dr| = |gradU| cos(f) - производна по направлению, под углом f относительно градиента.
И производная в направлении вектора s определяется как: ( gradU, s ) / |s|