Функция Лагранжа (как она вводится и её смысл).

Физический смысл в том, что она становится минимальной на той самой траектории, которая будет у тела, которое движется по законом механики (классической или квантовой, неважно).

В общем случае, это не разность между кинетической энергией и потенциальной энергией. Это только в отдельных простых частных случаях так получается.