И вновь математика!!!

Question

И вновь математика!!!

Ассоль Профи (883), закрыт 15 лет назад

1) На столе лежат альбомы, которые нужно упаковать. Если их связывать по 4, по 5 или по 6 в пачку, то каждый раз останется один лишний альбом, а если связывать по 7 альбомов в пачку, то лишних не останется. Сколько альбомов могло быть на столе? решение объясните
2) Доказать, что если в шестизначном числе первая и четвертая цифры равны, вторая и пятая равны, а также третья и шестая равны, то это число нацело делится на 7, на 11 и на 13
3) В выражении переместите одну цифру так, чтобы оно стало верным: 101-102=1

Answer 1

1. Получаем: y=4a+1=5b+1=6c+1=7d
Имеем, (y-1) = НОК (4,5,6)*k=2*5*3*k=30*k
Остаётся найти числа вида 30k+1, делящиеся на 7
Проще всего прверить:
31, 61, - не делятся
91=7*13
Итак, наименьшее такое число - 91 (k=3). Очевидно, что следующее число получится при k=10;17;21 и т. д.
2. Вернёмся к признакам делимости на 7. Второй достаточный признак: Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь.
Имеем (a1+a2+a3)-(a4+a5+a6)=(a1-a4)+(a2-a5)+(a3-a6)=0. Ноль делится на 7, следовательно на 7 число делится.
Признак делимости на 11:
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11. a1-a2+a3-a4+a5-a6=0 (делится на 11)
Признак делимост на 13:
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13
a1*4+a2+a3*10+a4*100+a5*1000+a6*10000=4*(a1+a4*25)+(a2+a5+1000)+10*(a3+1000*a6)=4*26*a1+1001*a2+10*1001*a3
1001 => 100+4*1=104 => 10+ 4*4=26 - делится на 13
все слагаемые делятся на 13, значит число делится на 13

Answer 2

Ты уже отправила олимпиаду по истории. Я отправляю.
Экстрасенс

Answer 3

1) 301
2) Число делится на 1001
3) поднять двойку вверх

Answer 4

1) Количество альбомов - 1 должно делиться на 4,5,6 минимальное такое число 60, значит число альбомов 60*к+1, это число должно делиться на 7, получаем уравнение 7*l - 60*k = 1, откуда l = 43 + 60*t, k = 5 + 7*t. число альбомов равно 7*l => 301 + 420*t.

2) Шестизначное число выглядит как XYZXYZ = XYZ*1001 = XYZ*7*11*13.

3) Двойку поднять в знак степени. 101- 10^2=1