Как решить несобственный интеграл? (Олимпиадная задача)
Интеграл от 0 до бесконечности от
((sin7x)^4 - (sin5x)^4)/x dx.
Сначала была идея воспользоваться формулой Фруллани, тогда бы ответ был sin0*ln(5/7) = 0, но скорее всего функция не подходит под ее условия применимости. Пробовал взять дифференцированием по параметру, пихал куда можно параметры, но в итоге все равно получается какая-то неопределенная лажа, что-то вроде синуса от бесконечности.
***
Не прошу его решать, хотя бы направьте на метод решения.
Ничего особо остроумного в предложении И. М. нет.
∫(((sin7x)⁴-(sin5x)⁴)/x)dx=
0.5*Ci(10*x)-0.5*Ci(14*x)-0.125*Ci(20*x)+0.125*Ci(28*x)+0.375*ln(1.4)
(https://www.wolframalpha.com/ ),
где Ci - спец. функция "интегральный косинус", Ci(x)=-∫(x,∞)(cos(t)/t)dt.
Как выводить это без системы аналитических вычислений - похоже, что надо разложить
(sin7x)⁴-(sin5x)⁴)/x=
(sin7x)²+(sin5x)²)*(sin7x)²-(sin5x)²)/x=
(2+cos7x)²+(cos5x)²)*(cos5x)²-(cos7x)²)/x и т. д..
lim Ci(x→∞)=0 (https://ru.wikipedia.org/wiki/Интегральный_косинус ).
Так что используя это значение предела (которое не так уж сложно вывести самому) и очевидное разложение Ci(x) при x→0, нетрудно получить
∫(0,∞)(((sin7x)⁴-(sin5x)⁴)/x)dx = 0.375*ln(1.4) ≈ 0.126 .
Сначала проинтегрируйте, затем подставляйте значения пределов интегрирования и найдёте.
я бы понизил степень.