Мат. анализ, криволинейные и двойные интегралы
Используя формулу Грина, вычислить интеграл, обход которой производится против часовой стрелки. Первую часть отлично понимаю. Возникает куча вопросов, когда переходим к полярным координатам и находим искомый интеграл. Объясните пожалуйста, что откуда берется, почему вообще x^2+y^2 превращается в (r^2 cos^2 θ + r^2 sin^2 θ) r dr. Чем отличается "a" от r? Заранее спасибо!
Полярная замена х=r*cosθ, y=r*sinθ,
x^2+y^2=a^2 это по условию, сюда и подставляем замену, получаем r^2 cos^2 θ + r^2 sin^2 θ
Откуда берется еще один r? При замене нужно не только подставить х и у, но и домножить на якобиан. Что это такое - поищите, вещь известная. Так вот, для полярной замены он равен r
Про а. Это самое а стоит в условии, как радиус окружности, заданной уравнением x^2+y^2=a^2. Если и в него подставить полярную замену, то нетрудно видеть, что получится r^2=a^2 => r=a. При этом а - число, r - переменная
x=rcosa, y=rsina, => x^2+y^2=r^2cos^2a+r^2sin^2a=r^2. Это переход к полярным координатам.
Кроме того появляется якобиан J=r для полярных координат. При использовании формулы Грина мы переходим к двойному интегралу по области, (это круг с радиусом а), поэтому r меняется в пределах от 0 до а.
Вот здесь про саму формулу, разжевано на пальцах
https://youtu.be/4VxNd2Xj0q0
Здесь про полярные
https://youtu.be/URK98wdoxe4