Жизненная задача по комбинаторике

Question

Жизненная задача по комбинаторике

Davimoon Мастер (1009), закрыт 4 года назад

Не прошу просто голое решение сам предпринимал попытки разобраться.

Листая ленту новостей встретил данную фото с подписью «попробуй угадать пин код»
Действительно, с первого взгляда все понятно, что, судя по затертым цифрам 1-4 используются только они и скорее всего пин 1234. Даже если они в случайном порядке, то количество комбинаций равно (4!).
Но я подумал, а что если цифр в коде больше, но используются только первые четыре? В уме сразу формулируется условие задачи:
5 цифр. Известно, что в правильном коде используются каждая по одному разу, а одна из них - два раза. Найти число возможных комбинаций.

Первая мысль была: первую можно взять четырьмя способами, вторую тремя, третью двумя, четвёртую одним, пятую - снова четырьмя, так как она может повторяться. Получается, что 4!*4=96? Сразу ощущение что что то не то. Кажется что мало. Почему повторяться может только последняя? Любая же может, но только одна. Может быть мы посчитали только для единички? И надо домножить на количество цифр? !4*4*4=384? Опять не покидает ощущение, что это не верно, кажется много слишком. Думаем что упустили. Кажется, мы не учли, что не вычли повторяющиеся конфигурации. Например 11234. Ведь тут единички выбираются в двух случаях, но код то один и тот же. И вроде так для каждого случая. Надо бы разделить на два. 384/2=192. Вроде похоже. Но все равно осталось чувство, что где то намудрил и сбился.
Кто силён в комбинаторике, помогите найти ошибку, если она есть. Либо подскажите, скорее всего есть другой, более простой подход к решению.

Так же, если приглядеться, можно заметить, что единичка затёрта больше других? Думаю, это зацепка, что в коде именно она используется два раза! Значит мы можем уменьшить количество комбинаций! Ведь логично, что в этом случае отпадают комбинации, где два раза встречаются цифры 2,3,4.

Давайте, ради интереса, рассчитаем два количества комбинаций?
1. если известно, что в коде 5 цифр, но не известно, какая именно цифра повторяется дважды, а остальные все разные в пределах 1-4.
2. Если известно, что в коде 5 цифр, что дважды повторяется именно «1», остальные все разные в пределе 1-4.

Мне важен не сколько ответ, а понять правильную логику, как это считать.

Answer 1

Если НЕИЗВЕСТНО, какая цифра повторяется, то выбрать повторяющуюся цифру можно 4 вариантами, а расставить 5 цифр, из которых одна повторяется, можно 5!/2!=60 вариантами. Итого вариантов 4*60=240.
А если известно, что это за цифра, например, единица, то просто 5!/2!=60 вариантов

Answer 2

Солнышко Мое Мудрец (11914) 4 года назад

Вы будете опасным человеком, научитесь много чего вскрывать)))

DavimoonМастер (1009) 4 года назад

Не стоит задачи что то вскрыть, я вообще не знаю, почему это происходи, но последнее время нравится жизненные ситуации перекладывать на математику. Мне важен сам процесс нахождения верного решения. Но не всегда, как в этом случае, выходит все гладко

Солнышко Мое Мудрец (11914) В жизни все не так уж гладко как кажется- у всех. Замутите проект математический.

Answer 3

Ответ на второй вопрос.
Используя 5 знаков (1; 2; 3; 4; а) получаем 120 комбинаций (5!). Затем меняем "а" на 1 и убираем половину комбинаций (если есть комбинация 1-а-*-*-*, значит есть и а-1-*-*-*). Осталось 60.
Ответ на первый вопрос.
Имеется 8 знаков (1; 2; 3; 4; а; б; в; г). Нужно найти все комбинации состоящие из 4 цифр и одной (любой) буквы в любом порядке. Получим 480 комбинаций (по 120 с каждой буквой) и половину убираем. Остаётся 240.

Answer 4

Допустим, цифра 1 повторяется. Тогда для неё найдём кол-во сочетаний C из 2 по 5. Если так повторить для каждой цифры, то С` = 4*C. После того, как повторяющая цифра поставлена на два места, остаётся ещё три места, в которых будут разные цифры, поэтому для них нужно посчитать кол-во перестановок P. В итоге общее кол-во комбинаций равно С`*P = 240. А если точно известно, какая цифра повторяется, то C`=C и тогда С`*P = 60

Answer 5

Судя по замку, то и 7ка задействована..
Замок твой, открыл?

Answer 6

Не прошу просто голое решение сам предпринимал попытки разобраться.

Листая ленту новостей встретил данную фото с подписью «попробуй угадать пин код»
Действительно, с первого взгляда все понятно, что, судя по затертым цифрам 1-4 используются только они и скорее всего пин 1234. Даже если они в случайном порядке, то количество комбинаций равно (4!).
Но я подумал, а что если цифр в коде больше, но используются только первые четыре? В уме сразу формулируется условие задачи:
5 цифр. Известно, что в правильном коде используются каждая по одному разу, а одна из них - два раза. Найти число возможных комбинаций.

Первая мысль была: первую можно взять четырьмя способами, вторую тремя, третью двумя, четвёртую одним, пятую - снова четырьмя, так как она может повторяться. Получается, что 4!*4=96? Сразу ощущение что что то не то. Кажется что мало. Почему повторяться может только последняя? Любая же может, но только одна. Может быть мы посчитали только для единички? И надо домножить на количество цифр? !4*4*4=384? Опять не покидает ощущение, что это не верно, кажется много слишком. Думаем что упустили. Кажется, мы не учли, что не вычли повторяющиеся конфигурации. Например 11234. Ведь тут единички выбираются в двух случаях, но код то один и тот же. И вроде так для каждого случая. Надо бы разделить на два. 384/2=192. Вроде похоже. Но все равно осталось чувство, что где то намудрил и сбился.
Кто силён в комбинаторике, помогите найти ошибку, если она есть. Либо подскажите, скорее всего есть другой, более простой подход к решению.

Так же, если приглядеться, можно заметить, что единичка затёрта больше других? Думаю, это зацепка, что в коде именно она используется два раза! Значит мы можем уменьшить количество комбинаций! Ведь логично, что в этом случае отпадают комбинации, где два раза встречаются цифры 2,3,4.

Давайте, ради интереса, рассчитаем два количества комбинаций?
1. если известно, что в коде 5 цифр, но не известно, какая именно цифра повторяется дважды, а остальные все разные в пределах 1-4.
2. Если известно, что в коде 5 цифр, что дважды повторяется именно «1», остальные все разные в пределе 1-4.

Мне важен не сколько ответ, а понять правильную логику, как это считать.