Українська мова, подскажите, пожалуйста, слова їх и їхній - это синонимы в украинском?

Дело в том, что в русском языке, слово "ихний" не допустимо использовать в научной, деловой или официальной речи, хотя слово, вполне, литературное.

В украинском языке такого правила нет -- совершенно свободно используется, как займенник "їх" так и прикметник "їхній". И в украинском это НЕ синонимы. Например:

Я пiдвiз їх до їхного будинку.

По правилам украинского языка, слово "їхнiй" используется там где можно задать вопрос "Чей?". Использовать в такой конструкции слово "їх" не правильно.

Не правильно -- "Діти та їх батько". Правильно -- "Діти та їхній батько".