Чем отличаются глаголы offer и suggest?

Offer - предлагать, оказывать, выдвигать. Близко к русскому пониманию «дать», «угостить».
Когда предлагается что-то бытовое, не требующее обсуждения, нечто материальное, конкретное, осязаемое. Пример: чашка чая, помощь, деньги, купить билеты и т. п..
She offered to help me. - Она предложила помочь мне.
He offered me a good job. - Он предложил мне хорошую работу.
I can offer you a glass of wine. - Я могу предложить вам бокал вина.
The charity offers a financial support to low-income families. — Этот фонд предлагает финансовую поддержку малоимущим семьям.
__________________________________________________
Suggest - предлагать, наводить на мысль, советовать, выдвигать. Близко к русскому «посоветовать», «выдвинуть идею».
Когда предлагается что-то, что требует обсуждения, переходит в плоскость выражения мыслей, советов и рекомендаций. Выражение собственного мнения, призыв к совместному действию. Пример: способ решения задачи, план, расписание, идея и т. п..
He suggested a visit to the museum. — Он предложил посетить музей.
I suggested a genius idea. — Я предложил гениальную идею.
I suggest you talking to him about this situation. — Я предлагаю тебе обсудить с ним эту ситуацию.
We suggest that it’s better to go now. — Мы считаем, что лучше идти сейчас.

После offer идет или существительное, или инфинитив, а после suggest существительное, герундий или придаточное предложение.