Сколько способов построения перпендикуляра к прямой знаете Вы?

1) Самый простой по идейности способ построения перпендикуляра к прямой выполняется т. н. "методом чайника" - сведением задачи к другой стандартной задаче - о построении серединного перпендикуляра к данному отрезку.

Напомню построение: строят две окружности с центрами в концах отрезка равного радиуса, большего (на глаз), чем половина длины отрезка. Для исключения из построения понятия "на глаз" будет достаточно взять радиус, равный длине отрезка. Нетрудно доказать, что полученные окружности пересекаются в двух точках, и что прямая, проходящая через данные точки, и есть серединный перпендикуляр.

Способ достаточно прост, ибо он требует построения двух окружностей и одной прямой. И к нему легко сводятся как задача о построении перпендикуляра к данной прямой, так и просто задача о построении прямого угла.

2) Есть другой способ, требующий построения вместо полных окружностей всего лишь их дуг. Этот способ решает задачу о построении прямой, перпендикулярной данной и проходящей через данную точку (неважно, лежащей на этой прямой или нет).

Приведу здесь и его. Строят окружность радиусом, большим, чем расстояние от точки до прямой, если точка лежит вне прямой и произвольным радиусом, если точка лежит на прямой с центром в данной точке. На прямой образуется отрезок. Далее строят две пересекающиеся дуги окружностей равного радиуса, равного длине получившегося отрезка. Прямая, проходящая через точку пересечения и заданную прямую - искомая.

В способе присутствуют уже три окружности и одна прямая. Но вместо полных окружностей достаточно построить только их дуги. Можно считать это условным упрощением.

3) Следующий способ основан на теореме Пифагора. Самый простой случай - свойство египетского треугольника со сторонами 3; 4; 5. Подходит, если нужно провести перпендикуляр к заданной точке на заданной прямой. От данной точки A на прямой откладывают отрезок, равный 3 и получают точку B. Далее строят две дуги окружностей до их пересечения в точке С: одну с центром в А радиусом 4, другую - с центром в В радиусом 5. Искомый перпендикуляр - это СА.

4) Есть и такой способ, основанный на свойстве вписанного угла. Пусть А - точка на прямой, О - произвольная точка вне прямой. Проводят окружность с центром в О радиусом ОА, и пусть В - вторая точка пересечения окружности с прямой. Через точку А и центр О проводят диаметр, и пусть С - противоположная точка этого диаметра. СВ - искомый перпендикуляр, поскольку угол ABC - прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр.

Здесь всего одна окружность и две прямые. В каком-то смысле этот способ проще.

5) Приведу ещё эксклюзивный способ, позволяющий обойтись одной линейкой. Он применим, если относительно данной прямой уже проведена окружность, центр которой лежит на данной прямой, но не отмечен (пусть А и В - точки пересечения окружности с прямой) И требуется из произвольной точки С вне прямой опустить перпендикуляр на прямую, пользуясь только линейкой (циркулем пользоваться нельзя). Решение задачи основано на свойстве высот треугольника пересекаться в одной точке. Следовательно, если провести отрезки СА и СВ и взять их точки пересечения с окружностью - D и E, соответственно, то отрезки AD и BE будут высотами треугольника ABC (если СА или СВ касается окружности, то это и есть перпендикуляр). Берём точку H пересечения AD и BE. Прямая CH будет перпендикулярна прямой AB.

Итого 5 различных способов:

1) Построение серединного перпендикуляра к отрезку
2) Построение перпендикуляра через заданную точку на прямой или вне её
3) Теорема Пифагора
4) Свойство вписанного угла
5) Свойство высот треугольника.

Как видно, у каждого способа есть своя специфика, свои плюсы и минусы.
Возможно, есть ещё способы.