Задача о прямоугольной трапеции
Дана прямоугольная трапеция, в которую можно вписать окружность. Основания трапеции горизонтальны. Докажите, что точка пересечения её диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной вертикали.
Это я доказал таким длинным путём, что кажется, задача сложна даже для олимпиады уровня страны. Но отнюдь не исключено, что существует и более простое доказательство.
Точка F не туда попала. ЕF на самом деле средняя линия трапеции.
Проведем справа вертикальную касательную к окружности до пересечение с продолжением верхнего основания (точка К) и с нижним основанием - точка М. Продлим АВ влево и отложим на нем отрезок, равный МВ и отметим точку В1. АВ1=МВ. Из точки В1 проводим касательную к окружности до пересечения с СД в точке Е.
Трапеция МВ1КЕ - зеркальная копия трапеции АВСД. Они симметричны относительно вертикальной оси, проходящей через центр окружности. Ничто нам не мешает провести соответствующие диагонали (АД и СВ, В1К и ЕМ) и убедиться, что они пересекаются в одной точке ровно на оси симметрии.
Диагонали описанного ч-ка и отрезки, соединяющие точки касания окружности к противолежащим сторонам, проходять через одну точку (у вас "К"). То есть линия, соединяющая верхнюю и нижнюю точки касания окр., проходит через "К" и центр окружности и, вспоминаем (!) трапеция прямоугольная. Ну, а средняя линия параллельна основанию.
утверждение задачи не верное, т. к. противоречит известному свойству трапеции: точка пересечения диагоналей трапеции лежит на прямой проходящей через середины оснований и точку пересечения продолжения ее боковых сторон. эта прямая наклона к основаниям.
