Задача по комбинаторике

Question

Задача по комбинаторике

Davyd Koehler Профи (607), на голосовании 3 года назад

Играют двое.
Подбрасывается монета, и если она выпадает гербом, первый
платит второму 1 рубль, а если решкой — второй платит 1
рубль первому. Игра ведется до полного разорения одного из
игроков. Какова вероятность того, что разорится первый,
если изначально у первого имелся 1 рубль, а у второго — 2
рубля?

Answer 1

p1 - вероятность разорения первого, p2 - второго.
Тогда с вероятностью 1/2 монета выпала гербом и первый разорился, а с вероятностью 1/2 монета выпала решкой, в результате чего у первого игрока 2 р., а у второго 1 р. Во втором случае, 1 и 2 игрок поменялись местами (т. е. вероятность разорения 1 игрока равна p2 = 1-p1 вероятности разорения второго игрока в начале игры). Отсюда:
p1 = 1/2 + 1/2*p2 = 1/2 + 1/2*(1-p1) = 1/2 - p1/2 или
3/2*p1 =1 <==> p1 = 2/3.
Ответ: 2/3