Теорема Котельникова простыми языком

Вопрос из серии "интегральное исчисление простым языком для 3-го класса".
Чтобы понимать, почему там нужно умножать на два, хорошо бы для начала понять что такое ряды, в частности ряды фурье, а до этого хорошо бы изучить диффуры и интегральное/дифференциальное исчисление. А так сходу - не поймете. Даже не старайтесь.

Да тут всё просто, однако не для смещённого спектра — это когда в нём нет постоянной составляющей, а она перенесена той или иной модуляцией на ненулевую частоту.

Теперь основные св-ва дискретной конечной временной ф-ции:

— спектр её будет также дискретным,
— и математически представленным как положительными, так и отрицательными частотами.

Отрицательные частоты и дают удвоние ширины спектра, что и учитывается той самой двойкой. Но для несмещённого спектра они комплексно-сопряжённые — считай одно и то же, а вот у нуля нет дополнительной отрицательной частоты, потому амплитуда его и не удваивается.

Так, пошли далее. На верхней частоте спектра появляется искажение за счёт неучитываемых частот выше её — это известный эффект, когда вся неучтённая энергия со всех описываемых гармоник и приписывается ей, чтобы при восстановлении во временную плоскость получить исходный сигнал — это её амплитуду и искажает, почему и верить такой нельзя.

Попытки избавиться от этих эффектов привели к дискретному косинусному преобразованию — цитирую Вики:

"Дискретное косинусное преобразование (англ. Discrete Cosine Transform, DCT) — одно из ортогональных преобразований. Вариант косинусного преобразования для вектора действительных чисел."

Сейчас широко используется в аудео- видео- технике. Описанная таким образом форма корпуса обычной лодки уже не будет волнообразной — такую бы никто не купил :)

Писал накоротке — будут вопросы, милости прошу. Материал интереснейший — с 1939 теорема Котельникова, когда он её дал, породила такое, о чём человечество и не догадывалось. Открыла, что называется, глаза!