Здравствуйте. Объясните понятным для меня языком, зачем нужны тензоры.

Тензоры так же образованы матрицами, как книга страницами. Тензоры высших порядков уже можно сравнить с книжными полками стеллажей или в шкафах библиотеки.

Нужны они для краткой записи в уравнениях.

Тензоры решают две основные задачи:

1.
Сокращают систему уравнений до одного короткого уравнения.
Представьте себе, что в Общей Теории Относительности систему из 16 длинных уравнений заменили на одно короткое уравнение. И это не просто красивая запись. С этой записью можно работать, зная правила работы с индексами. Вы на одной странице сможете уместить запись нескольких преобразований уравнений. Без тензоров эти же самые преобразования могут занять 20 страниц.

2.
Тензорные поля (зависимость компонент тензора от координат (в том числе и от обобщенных координат)) отличаются от простого упорядоченного набора чисел (многомерного массива) тем, что их компоненты при линейных преобразованиях координат преобразуются не просто как набор независимых скалярных полей, а по определенным правилам. Эти правила связаны некоторым образом с правилами преобразования координат. Например, если массив чисел 2х1 является еще и вектором (а векторы являются тензорами), то, при повороте системы координат, будут не только линейно преобразовываться координаты x и y в зависимости компонент вектора от координат x и y через матрицу поворота, но еще дополнительно будут линейно и сами компоненты вектора через обратную матрицу поворота.