Решить задачу Коши

2yy''=(y')^2+1, y(0)=1, y'(0)=0
Положим y' = z(y) => y'' = (dz/dy)*y' = (dz/dy)*z
Приходим к следующему ДУ:
2y*z*(dz/dy) = z^2 + 1 - оно с разделяющимися переменными. Разделяем их и интегрируем:
2*(zdz)/(z^2+1) = dy/y
=> d(z^2+1)/(z^2+1) = dy/y
=> ln(z^2+1) = ln|y|+ln|C1|
=> z^2 + 1 = C1*y
y'(0) = 0, y(0) = 1 => C1 = 1
z = y' => y' = +-sqrt(y - 1)
=>dy/(+-sqrt(y-1)) = dx
=> +-2*sqrt(y-1) = x + C2
y(0) = 1 => C2 = 0
Отсюда можно явно выразить y и получить решение задачи Коши:
y = (x^2/4) + 1