Заявки с сайта не приходили на почту. Те, которые, не дошли могут где-то сохраниться?

Папку "Спам" проверь...

смотря на чем и как сайт сделан.
woocommerce, к примеру, хранит все сделанные заказы, в админке можно их посмотреть.
может и не хостинге какие-то логи отправленных писем ведутся если письма через sendmail отправляются, уточните.

Очевидно что не настроен smtp(в случае если это почта для домена) или неправильно настроен oauth2