Почему первообразная это площадь под графиком?

Question

Почему первообразная это площадь под графиком?

Ринат Иваев Знаток (485), закрыт 4 года назад

Интегрирование это нахождение первообразной, а интеграл это площадь под графиком. Хотелось бы пояснее в этом разобраться

Answer 1

Пусть нам дана некая функция F(x) и ее производная f(x), площадь под которой мы рассматриваем (тут еще должна быть всякая фигня про непрерывность и конечность обеих функций в рассматриваемом интервале, догадайся сам).

То есть

dF(x)/dx=f(x) - по определению производной.

Отсюда
dF(x)=f(x)dx - вот это очень важно, каждый кусочек первообразной - это ее производная в некоторой точке, умноженная на изменение аргумента.

Или же, если все кусочки сложить вместе
F(x)=∫f(x)dx

Таким образом, первообразная - это всего лишь эдакое свойство интеграла, в общем-то не самое основное. Заодно ты теперь знаешь, откуда под интегралом берется dx.

Answer 2

Суммирование исходной функции. Это средняя у (х) умноженая на длину х-координаты. Если у нас например прямая у (х) то это диагональ, сделаем первообразную получим (1/2)х*x. 1/2x это средняя высотой у (х) =x. (1/2 середина) a второй х длина х-координаты.
Первообразная дает нам сумму всех функционных значений за период х.