Возможно ли сделать новую розетку, если кафельная плитка уже выложена?

Возможно

Вырезать отверстие в кафеле или снимать плитку

Конечть . Алмазной каронкой вырезаеш под стакан и аккуратновыдалбливаеш . Правдо часть плиток надо будет снимать под проводку . Или по кабельканалу вести

1. посмотрите внимательно, все ли грамотно сделано с водяным полотенцесушителем? Байпас есть по центру? Краны отсекающие? Оба крана включены? Засора нет?
Потому что водяной полотенцесушитель ОБЯЗАН греть как 100500 тыщ чертей и ровно с той температурой, которая находится в трубе горячей воды
2. Да. возможно. Осторожно спец. алмазной коронкой высверливаете цилиндр прямо по плитке под розетку, далее его соединяете с коридором, в коридоре штроба до ближайшей мощной розетки. Провода 2,5 медь.

ну если сквозь стену с прихожей сразу в подрозетник конечно можно и вырезать можно, врядли там стена бетон!

Полотенчик и не будет греться. Подключение сделано с грубейшими ошибками, кто так подключил - надо руки по самую майку вырвать и в жопу запихать. Установить новую розетку возможно

А провод то сверху что ли?

всё возможно.

Сверлим алмазкой стену с плиткой на глубину подразетника. Затем буром стену насквозь. Т. к коридор ещё в процессе, то по стене коридора штробим и подводим провод в отверстие, которое делали буром. Ставим подразетник, провод соединяем с разеткой . Ну и как оконцовка запитываем другой конец провода. Вуаля!

Когда отключат воду, нагрейте феном трубу и сплющите в указанном месте (не где ваша стрелочка, а где я пятно нарисовал, между врезками). Будет греть. Только без фанатизма, чтобы в трубе просвет какой-никакой остался.

Выводите из коридора в ванную провод

Если Вы у себя поставите полотенцесушитель так, что бы он работал - до Ваших соседей перестанет доходить горячая вода, точнее она будет тёплой. Соседи пожалуются, и Вас УК: 1) оштрафует, за самовольное изменение общедомовых коммуникаций 2) Проведёт перерассчёт (тариф на гор. воду с полотенцесушителем выше, чем без него) 3) Задорого и за Ваш счёт проведёт восстановление системы водоснабжения (по их калькуляции каждая резка трубы и пайка будет стоить от 800 руб \ штука ; к цене каждой детальки, которую надо будет впаять, прибавят стоимость доставки президентским кортежем, под охраной взвода 26-летних девственниц, с музыкальным сопровождением оркестра королевы Англии.
В Вашем случае желательно дать в глаз "мастеру" , который делал, но не обеспечил работоспособность. Это подстава.
Для того, что бы полотенцесушитель работал хоть как-то - его необходимо подключить ПОСЛЕ счётчика, и пропускать всю горячую воду, которую потребляет Ваша ванная, через полотнецесушитель. Температура воды будет ниже, особенно в начале, но сушитель как-то заработает.

С вероятностью в 99 % у Вас хорошие, новые, плотненькие, бессквознячные двери в ванную? И все дырочки Вы, при ремонте, заделали старательно и качественно ?
Какой у Вас этаж сколькиэтажного дома ?