Прошел Крым Рим и медные трубы . Что это кто скажет?

не РИМ вовсе, а РЫМ

"пройти и Крым, и рым" является не "синонимом", а продолжением поговорки "Пройти огонь, воду и медные трубы".
Что касается слова "рым", то вовсе не искаженное для рифмы Рим, а, как свидетельствуют словари морской терминологии : "металлическое кольцо для закрепления тросов, блоков, стопоров, швартовных концов и т. п. Рымы устанавливаются на палубе и на фальшборте судов, в носовой и кормовой оконечностях шлюпок, а также на причалах и набережных".
Сквозь рымы также продергивались в свое время цепи каторжников-галерников. Таким образом рым является неким символом неволи.
Что же касается Крыма, то именно там в Кафе (современной Феодосии) ориентровочно с 12 века по 1675 год был самый крупный в Причерноморье, а позднее и в Европе невольничий рынок. Так что скорее всего выражение "Пройти Крым и рым" может буквально означать - пройти и рабство и каторгу.
Полностью поговорка звучит так:
"Пройти огонь, воду, медные трубы, чертовы зубы, Крым и рым"