Примеры использования на практике собственных векторов и значений с пояснением физического смысла

Классический пример. для конструкции из пружинок и грузиков собственные значения определяют резонансные частоты, а собственные вектора - форму колебаний с этими частотами.

Это используется везде, где удается свести физическую задачу к линейной алгебре. Физический смысл зависит от того, что это за задача, и каким образом она была сведен к линейной.
Стандартные примеры:
Малые колебания в системах со многими степенями свободы
(смысл собственных значений: собственные частоты системы)
Практически весь квантмех
(смысл с. з.: возможные значения наблюдаемых, частоты Раби-осцилляций, и т. д.)
Линейная электродинамика
(смысл с. з.: собственные частоты в цепи)
Для понимания процесса это просто нужно несколько раз проделать.