Когда предлог "по" пишется раздельно, когда слитно, когда через дефис с разными частями речи?

Начнём с того, что предлог ПО, как и все остальные предлоги (непроизвольные и производные), со словами пишутся ТОЛЬКО РАЗДЕЛЬНО. Дефисного и слитного написания предлогов со словами не существует.

Предлоги употребляются с тремя частями речи:
● существительными – идти по дороге, съели по яблоку;
● числительными (количественными) – проходить по одному;
● местоимениями (местоимениями-существительными и местоимениями-числительными) – по себе, по ним.

Но стоять предлоги могут перед прилагательными и словами, на них похожими (местоимениями-прилагательными, порядковыми числительными, причастиями):
● по асфальтированной дороге, по румяному яблоку;
● по твоему мнению, по чьей-то подсказке;
● по второму кругу;
● по отремонтированному шоссе.

Но употреблены предлоги и в этих случаях не с прилагательными и не со словами, на них похожими, а со стоящими за ними существительными.

Многие предлоги, в том числе и предлог ПО, имеют ОМОНИМИЧНЫЕ ПРИСТАВКИ.

Приставки, как нам известно, – это морфемы, значимые части слов. Их пишем СЛИТНО:
● поход, побелка;
● побежать, посмотреть;
● похвальный, последовательный;
● поэтому, потому.

Но есть у нас такая часть речи, в которой кое-какие ПРИСТАВКИ, и в частности приставка ПО-, могут писаться СЛИТНО, ЧЕРЕЗ ДЕФИС и РАЗДЕЛЬНО. Эта часть речи – НАРЕЧИЕ.

СЛИТНО приставка ПО- пишется в наречиях:
● если указывает на применение или совершение какого-либо действия по отношению к каждому из элементов – поочерёдно, повекторно;
● с обстоятельственным значением места и времени – повсюду, поодаль, поблизости, поутру;
● в форме простой сравнительной степени – побольше, поменьше, послабее, поумнее.

ЧЕРЕЗ ДЕФИС приставка ПО- пишется в наречиях:
● с суффиксом -ОМУ (-ЕМУ) – жить по-новому, по-прежнему; одеться по-осеннему, по-зимнему;
● с суффиксом -И: кофе по-турецки, говорить по-немецки, выть по-волчьи;
● оканчивающихся на -СКИ (суффикс -СК- + суффикс -И-) – написано по-французски, котлеты по-полтавски.

РАЗДЕЛЬНО приставка ПО- пишется в наречных сочетаниях, образованных из сочетаний существительнх с предлогом (в словаре Т. Ф. Ефремовой такие сочетания названы наречиями):
● жить по старинке, ходить по струнке;
● купить по дешёвке;
● говорить по душам; увязнуть по уши.

Если интересно, то подробнее о написании приставки ПО- в наречиях можете прочитать в этом моём ответе.