Как пишется слово «навек» или «на век»?

Смотря по контексту. Если ты имеешь в виду конкретно очерченный срок - "100 лет" или "длительность человеческой жизни" - тогда надо писать "на век". Означает "на какой срок".
Аналог на собачьем языке - "for one century"

Если ты имеешь в виду "навсегда" (без прицела на конкретный срок) - тогда надо писать слитно, "навек". Аналог на собачьем языке - "forever".