Правильно пишется "ни на чем или не на чем"? Например в предложении "ни/е на чем нельзя экономить"?

Частица "не" означает отрицание, частица "ни" - усиление уже существующего отрицания.
Отсюда вытекают и возможности применения.
В приведенном Вами примере уже есть отрицание, выраженное словом "нельзя". Поэтому про смыслу там должно стоять его усиление, то есть - частица "ни". Если использовать "не", то получится "отрицание отрицания", - а это уже совсем другая история.
Просто на будущее: если в предложении имеется отрицание, то в общем случае нужно использовать частицу "ни".