Дата в заявлении означает дату подачи заявления или дату написания?

Вообще это дата написания документа. Дата подачи заявления, это когда вы подаёте документ для принятия. Так как дата принятия может быть указана на копии при принятии документа. Отталкиваться будут именно от даты подачи заявления, поэтому важно, чтобы поставили дату на копии и подпись.
На вашем месте, я бы не поленился и распечатал документы заново. В принципе, заявление рассматривается в течении 30 дней и один день не так важен.