Линейная алгебра. Проверьте краткое док-во леммы Барта? Две недели эту лемму Барта трахал)

Question

Линейная алгебра. Проверьте краткое док-во леммы Барта? Две недели эту лемму Барта трахал)

Тадасана Просветленный (38330), закрыт 3 года назад

Коммутатором операторов A и B, обознач. [A, B], называется оператор AB - BA.
Лемма Барта.
Если два линейных оператора в C^n таковы, что rank[A, B] = 1 (дялее просто rk[A, B]), то A и B имеют общий собственный вектор.

Док-во, кратко пишу, на вопросы отвечу, если будут.
Лемма 1. Если ранг оператора равен 1 и след равен 0, то образ оператора лежит в ядре;
Следствие: квадрат этого оператора равен нулю.
Док-во простое - если образ не лежит в ядре, то C^n раскладывается в прямую сумму ядра и образа и в базисе (элемент из образа, остальные из ядра) матрица оператора имеет ненулевой след.
Лемма 2.
Если операторы X и Y перестановочны (XY = YX), то они имеют общий собственный вектор.
Док-во.
Пусть x - с. в. X, W - соответствующее его лямбде собственное подпространство.
Для всякого w из W
ABx = BAx = B*лямблаX = лямбдаBx, поэтому Bx принадлежит W. Таким образом, W - инвариантное для B и, следовательно, в нем найдется собственный вектор B, ч. т. д.

Док-во леммы Барта.
Не ограничивая общности, можно считать, что A и B обратимы (т. к. добавление к A и B скалярных операторов не меняет ни коммутатор, ни собственные векторы).
Пусть A - неотриц. целое.
rk(A^n[A, B]) = 1, tr(A^n[A, B]) = tr(A, A^nB) = 0 ==>
A^n[A, B] * A^n[A, B] = 0 ==>
[A, B]A^n[A, B] = 0 ==> для любого целого неотрицатльеного n оператор A^n отображает Im[A, B] в ker[A.B].

Пусть h - ненулевой вектор из Im[A, B].
Рассмотрим линейную оболочку векторов (A^n)*h, по всем целым неотрицательным n.

Эта линейная оболочка по доказангому выше лежит в ker[A, B] и оператор A на ней инвариантен ==> у A найдется собственный вектор в ker[A, B].
Следовательно, у A найдется собственное подпростраснтво W, соответсвующее некоторой лямбде и содержащее хотя бы один ненулвеовй вектор из ker[A, B].
Если оператор B инвариантен на пересечении W c ker[A, B], то сужаем операторы A и B на пересечение W c ker[A, B], где у них найдется общий собственный вектор по лемме 2. В противном случае найдется вектор a из W :
(A - lambda E)a = 0 И
(A - lambda E)Ba != 0
Расписываем второе.
(A - лямбдаE)Ba = B(A - лямбдаE)a + [A - лямбда*E, B]a = [A, B]a, и это ненулевой вектор, т. к. об этом написано двумя стоками выше (*)

Т. к. rk[A, B] = 1, то по (*) Im([A, B] - подпространство Im(A - лямбдаE).
Т. к. (A - лямбдаE)Bx = B(A - лямбдаE)x + [A, B]x для каждого x из Z^n, то
B(Im[A - лямбдаE]) - подпространство Im(A - лямбдаE).

Тогда три наших клёвых оператора, A - лямбдаE, B, [A, B] действуют инвариантно на Im(A - лямбдаE), мы можем их сузить туда и понизить размерность, далее по индукции.

Дополнен 3 года назад

Буквы чуть попутал, надеюсь, не безнадежно - не настолько, чтоб в док-ве запутаться.

В "Лемма 2" понапихал x вместо w, должно быть:
"Для всякого w из W ABw = BAw = B*лямбла*w = лямбда*Bw, поэтому Bw принадлежит W. Таким образом, W - инвариантное для B и, следовательно, в нем найдется собственный вектор B, ч. т. д."

Ну и в С^n лучше другую букву для размерности взять, а то я ниже показатели степени операторов буквой n обозначаю.

Дополнен 3 года назад

"Пусть A - неотриц. целое. rk(A^n[A, B]) = 1, tr(A^n[A, B]) = tr(A, A^nB) = 0 ==>"
читать как:
"Пусть n - неотриц. целое. rk(A^n[A, B]) = 1, tr(A^n[A, B]) = tr([A, A^nB]) = 0 ==>"

Answer 1

Грубых ошибок пока не вижу, небольшую логическую нашел, вернусь к ней ниже.
Если будете исправлять опечатки, еще Z^n на C^n исправьте. Я бы сократил доказательство раза в два. Можно было не тратить силы, строя собственное подпространство W, которое обязательно содержит ненулевой вектор из ядра AB - BA.

Намного проще сделать было так:
Доказываем усиленную лемму для условия rank(AB - BA) <= 1.
Рассмотрим W - произвольное собственное подпространство A. Возможны три случая:
1. W = C^n. В этом случае A = скалярный лямбдаE, коммутатор - нулевой оператор, каждый собственный вектор B - искомый.
2. dim(W) < dim(C^n) и W инвариантно для B: сужаем операторы на W, далее по индукции по размерности пространства.
3. dim(W) < dim(C^n) и W не инвариантно для B: в этом случае, цитирую, "найдется вектор a из W :
(A - lambda E)a = 0 И
(A - lambda E)Ba != 0"
И рассуждения из последней четверти доказательства остаются в силе.

Теперь пришла пора отметить небольшую логическую ошибку у вас: если оператор B НЕ инвариантен на пересечении W c ker[A, B], то это еще не означает, что B не инвариантен на W.
Условия в кавычках выше эквивалентны нарушению инвариантности B именно на W, но это небольшой недочет.