Ответы Mail.ru
Образование
ВУЗы, Колледжи
Детские сады
Школы
Дополнительное образование
Образование за рубежом
Прочее образование
Лидеры категории
Лена-пена
М.И.
Y.Nine
•••
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Интегралы, исследование на сходимость
Екатерина Смирнова
(125),
закрыт
3 года назад
Здравствуйте! Прошу помощи с 2 заданиями на фото, буду очень благодарна за любые содержательные ответы!
Лучший ответ
Scholes
(15682)
3 года назад
1) Интеграл от dx/[(x-1)*sqrt(x+1)].
Сделаем замену sqrt(x+1) = t => x = t^2-1, dt = dx/(2*t) => dx = (2t)dt. Новые пределы интегрирования t0 = sqrt(3) и t1 = +бесконечность. Приходим к интегралу с этими пределами от:
[(2t)dt]/(t^2-2) = интегралу от [2dt]/(t^2-2)
2/(t^2-2) = (2/(2*sqrt(2))*[1/(t-sqrt(2)) - 1/(t+sqrt(2)].
Первообразная равна 1/(sqrt(2))*log[(t-sqrt(2))/(t+sqrt(2))].
На пределах получаем:
lim(b->+бесконечности) от (1/sqrt(2))*log[(b-sqrt(2)) /(b+sqrt(2))] - 1/(sqrt(2))*log[(sqrt(3)-sqrt(2))/(sqrt(3)+sqrt(2))] = - 1/(sqrt(2))*log[(sqrt(3)-sqrt(2))/(sqrt(3)+sqrt(2))] - значение интеграла, а сам он сходится, поскольку lim(b->+бесконечности) от (1/sqrt(2))*log[(b-sqrt(2)) /(b+sqrt(2))] = 0 (конечен).
2) Интеграл от [x/(x^3-1)]dx.
Сделаем замену sqrt(x+1) = t => x = t^2-1, dt = dx/(2*t) => dx = (2t)dt. Новые пределы интегрирования t0 = sqrt(3) и t1 = +бесконечность. Приходим к интегралу с этими пределами от:
[(2t)dt]/(t^2-2) = интегралу от [2dt]/(t^2-2)
2/(t^2-2) = (2/(2*sqrt(2))*[1/(t-sqrt(2)) - 1/(t+sqrt(2)].
Первообразная равна 1/(sqrt(2))*log[(t-sqrt(2))/(t+sqrt(2))].
На пределах получаем:
lim(b->+бесконечности) от (1/sqrt(2))*log[(b-sqrt(2)) /(b+sqrt(2))] - 1/(sqrt(2))*log[(sqrt(3)-sqrt(2))/(sqrt(3)+sqrt(2))] = - 1/(sqrt(2))*log[(sqrt(3)-sqrt(2))/(sqrt(3)+sqrt(2))] - значение интеграла, а сам он сходится, поскольку lim(b->+бесконечности) от (1/sqrt(2))*log[(b-sqrt(2)) /(b+sqrt(2))] = 0 (конечен).
2) Интеграл от [x/(x^3-1)]dx.
ScholesМудрец (15682)
3 года назад
Прошу прощения, случайно раньше времени отправил ответ. Вот продолжение со вторым:
ScholesМудрец (15682)
3 года назад
f(x) = x/(x^3-1) = x/((x-1)*(x^2+x+1)).
Возьмем g(x) = x/(x-1).
Интеграл от g(x)dx с пределами 1 и b>1 = интегралу от [1 + 1/(x-1)]dx = b + ln|b-1| - lim(a->1+)[a+1/(a-1)] = бесконечность => он расходится.
Предел f(x)/g(x) = 1/3 при x->1 => исходный интеграл от f(x)dx тоже расходится по предельному признаку сравнения.
Возьмем g(x) = x/(x-1).
Интеграл от g(x)dx с пределами 1 и b>1 = интегралу от [1 + 1/(x-1)]dx = b + ln|b-1| - lim(a->1+)[a+1/(a-1)] = бесконечность => он расходится.
Предел f(x)/g(x) = 1/3 при x->1 => исходный интеграл от f(x)dx тоже расходится по предельному признаку сравнения.
Екатерина СмирноваУченик (125)
3 года назад
Огромное спасибо!
Scholes
Мудрец
(15682)
Екатерина Смирнова, сейчас заметил, что в 1-ом задании просят изначально проверить сходимость до вычисления значения. Тут можно как и во 2-ом использовать предельный признак сравнения. Сравнить с интегралом от функции g(x) = 1/x^(3/2). Он сходится (т. к. степень x больше единицы), предел f(x)/g(x) = 1 при x->+бесконечности => интеграл от f(x) тоже сходится.
Остальные ответы
мистер . Пр.
(491)
3 года назад
Честно, очень слаб в этом. Анализ - не мой конёк, впрочем, как и вся математика, включая сложную алгебру и геометрию. Извините пожалуйста, но ничем вам не могу помочь.
Похожие вопросы