Физика, механические колебания

J = (1/3)*m*l^2. — момент инерции стержня относительно конца (см. Картинку).
Отклоним его конец на Х вниз (или вверх). Возникла сила F = –kX.
Ее момент: M = l*F = – l*kX.
Угол ф отклонения (малого) самого стержня: ф = sin(X/l) = tg(X/l) = X/l.
Его вторая производная по времени: ф” = Х”/l.
Но угловое ускорение (по второму закону Ньютона):
(ф) ” = X”/l = M/J = (подставляем М и J) = – lkX/((1/3)*m*l^2). ==> (откуда) ==>
X”/l = – lkX/((1/3)*m*l^2). ==> (длина l полностью сократилась). ==>
X” = – (3k/m)*Х ==>
X” + (3k/m)*Х = 0.
Получили дифференциальное уравнение наших колебаний (другая картинка). Сравним его с нижним уравнением на этой «другой» картинке, получим для частоты:
(ω₀)^2 = 3k/m. ==> T = 1/f = 2п/ω₀ = 2п*sqrt(m/3k).
ОТВЕТ: Т = 2п*sqrt(m/3k).