Геометрический смысл скалярного произведения векторов.

Самый простой геометрический смысл: скалярное произведение векторов - это просто проекция одного вектора на направление другого.

Ещё один смысл можно выудить из теоремы косинусов, как обобщения теоремы Пифагора. Пусть два вектора исходят из общего начала, их концы соединены так, что образуется треугольник. Если теперь построить квадраты на двух его сторонах, соответствующих данным векторам, сложить их площади и из полученной суммы вычесть площадь квадрата, построенного на третьей стороне, то получится как раз удвоенное скалярное произведение данных векторов. Его знак определяет каков угол между векторами - острый, прямой или тупой.

С другой стороны можно получить и алгебраический смысл: третья сторона построенного треугольника - это разность двух данных векторов (направленная от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого) и если применить к этому треугольнику теорему косинусов, то получится вот что:

(a - b)² = a² - 2(a, b) + b²

(везде над буквами должны стоять стрелочки: это векторы).

Это очень похоже на обычную формулу сокращённого умножения. Оно становится таковой, если здесь всюду стоят числа, а вместо скалярного произведения - просто их произведение. Таким образом, эта формула справедлива и для векторов. Легко проверить, что аналогичная формула будет работать и для квадрата суммы двух векторов.

В n-мерном пространстве за основу в определении скалярного произведения векторов берётся именно его выражение через координаты векторов. И уже отсюда определяется угол между векторами. Таким образом, скалярное произведение помогает понять, как расположены друг относительно друга два вектора в многомерном пространстве.

Наконец, через скалярное произведение векторов, равно и как через их векторное произведение определяется смешанное произведение трёх векторов, а у него уже есть конкретный геометрический смысл, причём как у модуля (это объём соответствующего параллелепипеда), так и у знака (от которого зависит то, какая это тройка векторов: правая, левая или компланарная).