Можно ли подарить долю внуку (мне) в квартире через прописку?

Не совсем понятно, что означает "отдать через прописку".
Право собственности - это право владения, пользования и распоряжения. Оно регистрируется в уполномоченном органе кадастра и картографии и возникает на основании сделки.

"Прописка" - это обывательское понятие регистрации по месту жительства. Регистрация по месту жительства носит уведомительный характер и означает лишь фиксацию в установленном порядке органом регистрационного учета сведений о месте жительства гражданина Российской Федерации и о его нахождении в данном месте жительства (ст. 2 Закона РФ от 25.06.1993 N 5242-1 "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации").

Регистрация по месту жительства предоставляет лицу только право пользования помещением, а право собственности состоит из права владения, пользования и распоряжения.

Таким образом, для приобретения права собственности на 1/3 доли Вам необходимо заключить с бабушкой сделку. Это может быть договор дарения, который Вы можете составить и удостоверить у любого нотариуса. Стоимость услуг нотариуса по такой сделке Вы можете найти в статье 22.1 "Основ законодательства Российской Федерации о нотариате", минимальный тариф составляет 3 000 рублей + 0,2 процента от цены имущества. После чего нотариально удостоверенный договор необходимо передать в МФЦ с заявлением о его регистрации в Росреестре.