Помогите с дифференциальными уравнениями

Методом Коши однозначно.

Do you like what you see?

а)" разделяющиеся переменные" (1+y² )dx² = - √(2-x²)dy.
Отсюда arctg(y)= -arcsin(x²/√2) +с, y=tg(c-arcsin(x²/√2)). Упрощать можно, но не обязательно.
б) тоже, но с заменой z=yx. После нее xz'+exp(z)=0, тогда ln|x|= exp(-z)-c или (переписывая) z=-ln(c+ln|x|), y=-xln(c+ln|x|).
в) здесь z=y/cosx, относительно этой переменной z'=1/cos²x, т. е.
y/cosx = tg(x) +c. Итого y= sinx+c*cosx (хотя и с запретом на аргументы pi/2 + k*pi).
г) z=y' сначала, тогда d(z/sin(x))/dx = cosx/sin²x, отсюда z/sin(x) = c-1/sin(x),
z=c*sin(x) -1, y= c₁cos(x)-x+c₂ . И тоже не все хорошо при некоторых x.
Т. е. везде переменные разделялись, но требовались замены.