Почему при перестановке слагаемых сумма не меняется, при перестановке множителей произведение не меняется, но...

На самом деле для того чтобы говорить, допустим, про натуральные числа, следует сначала определить, что они вообще из себя представляют. Самый простой подход - развести аксиоматику Пеано.

Она строится на единственной вполне понятной идее: натуральные числа - это то, чем нумеруются предметы (и здесь не принципиально, используются ли для их записи цифры или, допустим, вы считаете с помощью камушков или палочек). Из нужд нумерации стандартный набор аксиом:

1. существует некое условно первое число, с которого начинается счёт (обозначим его 1)
2. для любого числа N, которое мы считаем натуральным, определена функция следования S(N), которая этому числу сопоставляет следующее за ним
3. нет такого натурального N, что S(N) = 1, то есть единица в самом деле первая и ни за кем не следует (в западной традиции первым числом берут 0 с соответствующими ему свойствами)
4. если одновременно S(N) = M и S(K) = M, то N = K, то есть предыдущее число единственно
5. работает метод математической индукции

Теперь ОПРЕДЕЛИМ (сочиним, если угодно) операцию сложения ("+") следующим образом:
1. сложение любого числа с единицей: N + 1 = S(N), то есть прибавление единицы дает следующее число
предположим, что для некого M сложение уже определено. Тогда определим сложение со следующим за M числом как
2. N + S(M) = S(N + M)

Далее из всего вышесказанного коммутативность и ассоциативность сложения (от перемены мест слагаемых... а также то, что три числа можно складывать в любом порядке) выводятся с помощью индукции просто как теоремы. Пример доказательства ассоциативности на фото.

А вот то, что называется таблицами сложения и умножения, - просто выписанные в явном виде аксиомы сложения и умножения, только вместо "первого числа" введено обозначение "1", вместо "второго числа" (то есть S("1")) введено обозначение "2" и так далее.

возьмем величины х"" и "а". Запишем выражение х*а. х - первый множитель, а - второй множитель. Если первый множитель заменить на "а" то он станет в х: а раз меньше, значит произведение станет в х: а раз меньше. НО мы то второй множитель заменили на х значит он стал в х: а раз больше. Короче произведение уменьшилось сначала в х: а, но потом увеличилось в х: а и, как видишь, осталось таким же :) Надеюсь ты понял мое объяснение, а то я совершенно не имею таланта в этом деле)