Производная функции z=2x^2+y^3 в точке M(1;−2) в направлении вектора a⃗ ={3;−4} равна.

почему вектор две координаты содержит ?

Тут всё просто )
1. Нам дана функция: z = z(x,y) = 2*x^2+y^3 - это функция 2х переменных, найдём её частные производные (x и y после z' - это нижний индекс):
z'x = dz/dx = ( 2x^2+y^3 )'x = 2*2x+0 = 4x;
z'y = dz/dy = ( 2x^2+y^3 )'y = 0+3y^2 = 3y^2;
2. Найдём значения этих частных производных функции в точке M(x0,y0), т.е. M(1;-2):
(здесь x и y после z' - нижний индекс, M после (dz/dx) и (dz/dy) - тоже нижний индекс)
z'x (M) = (dz/dx)M = 4*x0 = 4*1 = 4;
z'y (M) = (dz/dy)M = 3*y0^2 = 3 * (-2)^2 = 3*4 = 12;
3. Дан вектор направления a{X,Y} = a{3;-4}, а нам нужен угол alpha между осью OX и этим вектором для формулы: dz/da = (dz/dx)M * cos(alpha) + (dz/dy)M * sin(alpha)
или же углы alpha и betta между вектором и осями OX и OY соответственно для такого варианта формулы: dz/da = (dz/dx)M * cos(alpha) + (dz/dy)M * cos(betta)
( здесь и в п.4 M - это нижний индекс за скобками после (dz/dx) и (dz/dy), а не множитель ).
Но, т.к. можно сразу получить cos(alpha) и cos(betta) из вектора, то сразу их и найдём, а затем воспользуемся 2м вариантом формулы ( sqrt() - корень квадратный):
cos(alpha) = X / |a|; cos(betta) = Y / |a|;
|a|=sqrt(X^2 + Y^2) = sqrt( 3^2 + (-4)^2 ) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5
cos(alpha) = X/5 = 3/5 = 0.6; cos(betta) = Y/5 = -4/5 = -0.8
4. Подставляем всё во 2ю (см. выше) формулу, и получаем:
dz/da = (dz/dx)M * cos(alpha) + (dz/dy)M * cos(betta) = 4 * 0.6 + 12 * (-0.8) = 2.4 - 9.6 = -7.2
Ответ: dz/da = -7.2, здесь "-" говорит о том, что данная функция в данном направлении УБЫВАЕТ.
P.S.: решение перепроверьте - иногда теряю знаки и допускаю опечатки, буте внимательны! ))