Описанная и вписанная окружности

Да, один.

У равностороннего - один. Но, у других треугольников (не равносторонних) центры не совпадают. Центром вписанной окружности является пересечение биссектрис, а центром описанной - пересечение серединных перпендикуляров.

Ну а как иначе-то?
Из очевидных соображений симметрии. Только у вас, к сожалению, в школе нет времени на то, чтоб эти очевидные соображения симметрии научиться расписывать через аксиомы - т. е. применять их в математических доказательствах.

Зато у вас есть теоремка. по которой высота, медиана и биссектриса равнобедренного тр-ка, опущенные на основание, совпадают. А раз медиана является высотой, то она и является серединным перпендикуляром.

Т. к. под доказываемым в школе теоремам центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис, а центром описанной - пересечение серединных перпендикуляров, то в правильном треугольнике эти центры совпадают.