...Месяц, мой дружок, позолоченный рожок! А как выглядит тогда - полумесяц? Четверть Луны?

Толковый словарь русского языка (Ожегов С. , Шведова Н.) :

ПОЛУМЕСЯЦ
а, м. 1. Неполная луна, лунный серп. 2. Предмет или изображение такой формы.

Толковый словарь В. Даля:

МЕСЯЦ
м. луна, спутник земли; ночное светило, казачье солнышко, месик, смол. | Вид луны, считаемый по четвертям: новый месяц, старый месяц. | Время обращенья луны вкруг земли: в отношении к солнцу: 29 1/2, дней, синодический месяц, солнечный; в отношении к звездам: 27 1/3 дней, сидерический или звездный. Правительство считает гражданский и военный месяц, напр. при расчете продовольствия, в 30 дней, а морской в 29. Год делится на 12 месяцев, по 30 и 31 дню, за исключением февраля, в коем 28 и 29 дней. Названье годовых месяцев: январь (народн. васильев месяц, перелом зимы, стар. сечень, просинец) ; февраль (народн. бокогрей, широкие дороги, стар. сечень, лютый) ; март (народн. пролетье, свистун, стар. березозол сухой) ; апрель (народн. заиграй-овражки, стар. цветень, березозол) ; май (народн. месяц ай, холодно; пск. мур; стар. травень, травный) ; июнь (народн. голодай, ау, пусто в закромах; стар. червень, изок) ; июль (народн. сенозарник, страдник, грозник, макушка лета; стар. червень, липец) ; август (народн. капустник, стар. серпень, зарев) ; сентябрь (народн. осенины, засидки, бабье лето, летопроводец; стар. вресень, ревун, рувень, рюень) ; октябрь (народн. грязник, свадебник, зазимье, старин, паздерник, грудень, листопад) ; ноябрь (народн. братчины, стар. листопад, грудень) ; декабрь (народн. студень, зимник; стар. студень, студеный) . Когда месяц родится вниз рогами (на юг) , то зимой будет теплый, летом жаркий; вверх (на север) , зимой холодный, летом ветряный; рога кверху, но нижний крутой, верхний отлогий, то первая половина месяца зимой холодная, летом ветряная: если же верхний рог круче, нижний отложе, то та же примета на вторую половину месяца. Крутые рога месяца - к ведру; пологие - к ненастью; тусклый месяц - к мокрети; ясный, к суху; в синеве - к дождю; в красне - к ветру; с ушами - к морозу. Молодой месяц обмывается (о перемене погоды в новолунье) . Богоявленье под полный месяц - к большому разливу (перм.) . Если месяц в три дня обглядится, то весь будет ведрый, а когда три дня дождя, то весь ненастный (вор.) . Ветхий месяц Бог на звезды крошит. На месяце видно, как Каин Авеля вилами убил (как брат брата вилами заколол) , пятна на луне. Месяц умылся, т. е. дождь на молодник. Месяц народился, молодой, новый месяц, когда серп луны покажется после новолуния, на первую четверть; месяц на ущербе, старый, ветхий месяц, последняя четверть, убыль. Над бабушкиной избушкой хлеба краюшка месяц. Кто глядит на месяц (на погоду, в хоязйстве) , в деже не месит. На месяц смотреть (угадывать погоду) - ни жать, ни молотить. На месяц смотреть - в закромы заглядывать (пусто) . Светит, да не греет (месяц) , только напрасно у Бога хлеба ест. Как месяц ни свети, а все не солнышко.

О да! Месяц - это Луна, полумесяц - это пол-Луны! А тот "месяц", что "позолоченный рожок", - первая или последняя четверть Луны!
(Месяц-Луна по Далю измеряется четвертями: " Месяц народился, молодой, новый месяц, когда серп луны покажется после новолуния, на первую четверть; месяц на ущербе, старый, ветхий месяц, последняя четверть, убыль".)

Только на четвертушки надо делить не крест-накрест, а дольками, от полюса к полюсу!